威尔逊定理的逆定理成立吗？

1定义整数A > 1且满足an≡a(modn)的合数n称为底数为A的伪素数定理2.3对于每个整数A > 1，底数为A的伪素数有无穷多个我们有(A2-1。从费马大定理和pa的P | AP-1-1；由于p是奇数，A2-1可被AP-1-1整除；而PA2-1，所以有P(A2-1)| AP-1-1。所以2p(A2-1)|(A2-1)(N-65438现在有A2p = N(A2-1)+1≡1(MODN)。所以an-1 = A2pm≡1m = 1(MODN)。那就是有无限多的以a为基数的伪质数。虽然有无限多的以2为基数的伪质数，但与质数相比还是很少的。隆德大学的波奇曼证明有88220671010× 2个素数。然而，Serveux Lai Ji和wagstaff计算出，在1和2×1010之间，只有19865个以2为基数的伪素数。所以，在大多数情况下，我们的断言“若2n≡2(modn)，则n是素数”是正确的，所以我们把这个断言作为素数。例如，在n < n<2×1010+00的范围内，错误概率小于19865/(882206716+19865)≈0.0000025。然而，当这样的结果实际上用于素数判别时。如果用上面的论断来判断它的素性，这里不排除有错误。(对于其他碱基A，也可以进行同样的讨论。)令人惊讶的是，有这样一个合数n，且对任意满足(A，n)=1的A > 1，n是以A为底的伪素数，这样一个合数的存在是费马小定理的逆。N)=1 A有一个-1≡1(modn)，但不能断定n是素数。这个合数最早是由卡迈克尔发现的，所以叫做卡迈克尔数。例561是卡迈克尔数。这是卡迈克尔发现的第一个卡迈克尔数。这也是最小的卡迈克尔数。因为561 = 3×11×17，如果gcd(a，561)=1，那么gcd(a，3)=gcd(a，3)。A2≡1(mod3)、a 10≡1(MOD 11)、a 16≡1(MOD 17 A80≡1(mod 11)、A80≡1(MODii)n的每个素因子p都有p-1 | n-1；Iii)n是奇数，并且至少有三个不同的质因数。先证明充分性。设n满足条件I)，ii)，iii)，设n=p1p2…pk(k≥3)，p1，p2，…，pk是不同的奇素数。现在对于任何一个A > 65433。Api-1≡1(mod pi)从费马大定理，i=1，2，…，k，和从条件ii)，有LCM (P1-1，P2-65438+。所以an-1≡1(MODPI)(I = 1，2，…，k)，所以an-1 ≡ 1 (MODN)。因此，n是卡迈克尔数。I = An-1≡1(modn)是an-1 (MODP)。所以P-1 | N-1，而是P-65438。N) = 1.1 (mod2t)。否则，那么，这个假设就是不一致的。所以N一定是奇数，所以pi是奇数素数，i=1，…，k .设gi是模piui的原根，i=1，…，K. N) = 1。因为n是一个卡梅尔数，an-1≡1(modn)，即an-1≡1(modpiui)，反之，an-65438。所以有gin-1 ≡ 1 (MODPIUI)。原根定义的φ (PIUI) | n-1是PIUI-1(PI-1)| n-1。因此，ui=1，i=1，…，k因此，条件I)被证明，PI-1 | n-1，i=1，…，k，即条件ii)被证明。右三。因为P1-1 | p 1p 2-1，而p 1p 2-1 =(p 1-1)P2+P2-1，P2-1 | P1-1，由此我们可以得到p 1-110585 = 5 29 73, 27845 = 5 17 29 23, 172081 = 7 13 31 665438.这不是一件简单的事情。如果只有有限个Carmichael数，可以给出一个上界m，那么在n > m的范围内很容易判别出n是素数，然而Carmichael数可能有无限个，这只是猜测，至今没有人给出证明，但大多数人认为这个结果是正确的。3.素数判别与广义黎曼猜想1976，Munet发现了素数判别与广义黎曼猜想之间的深刻联系(见附录)。他得到的结果是，如果广义黎曼猜想(REH)成立，则存在一个算法，对于每个n，可以在log2n的多项式时间内判定n是否素数，即存在一个判别素数的多项式算法，并且这个算法是可以设计的。这种关系的发现，也是基于对费马无穷小定理的研究。下面著名的欧拉结果是费马无穷小定理的推广。定理2.11如果n是奇素数，则任意自然数A和na都有1978。1976年初，勒梅尔发表了一篇短小精悍的文章，证明了定理1的逆定理也成立。他得到了定理2.12(勒梅尔)。若n为奇复数，则存在自然数，满足(A，证明了若n含有因子pα，p为奇素数，α > 1。设A为pα的原根，若n=p1p2…Pt，t≥2。但是p2是一个奇数。这是不可能的。所以一定有一个A (A，虽然Lemmer的这个结果表明，如果N是一个合数，并不表示A在1和N之间的什么地方，对于一定数量的N，当然我们也可以计算出1和N之间的每一个。因此，我们希望改进Lemmer的结果。如果只测试几个A，我们可以期待得到一个更有效的素数判别方法。Minne注意到，给定一个数n，由n的收缩形成的所有群Un={a(modn)构成一个子群。就这样吧。那么我们可以利用安肯尼和蒙特哥梅利的以下结果。定理2.13(安孟)在广义黎曼猜想(REH)成立的条件下，有常数c。对任意自然数n和Un到任意群G，非单位同态ψ，Q使1 < q ≤ c (log2n) 2和ψ(qmodn)≠1(其中1是G的恒等式)。由此，Munet得到如下结果:定理2.14 (Munet)在广义黎曼猜想中。然后有一个从1≤a≤C(logn)2 Un到Un的同态映射。因为n是一个合数，所以从定理2.12可知ψ不是同态映射。所以从定理2.13可知，a的存在使得1 < a ≤ c (log2n) 2使得ψ(amodn)中的常数c注定理2.14与定理2.13中的相同。芦伟在1978中指出，定理2.14中的常数c可以设为70。判断素数存在的多项式算法。我们可以这样设计一个算法:(modn)为真。如果对一个A为真，则停止测试，然后N是一个合数(由定理2.11)。如果对每个A都不成立，即对于A = 1，2，计算量为70，即工作量为O(log25)，所以这是一个多项式算法。这样，只要广义黎曼猜想成立，就找到了素数判别的多项式算法。然而，广义黎曼猜想的证明是相当困难的，这是数学家们一直关注的问题。这里的讨论还表明，需要以更高级的方式研究素歧视。本文来自博客，转载请注明出处:/周。

记得领养