关于什么是数学的思考？
什么是数学？1什么是数学，由库兰特和罗宾合著，是一本世界著名的数学书籍。第一版到现在已经60年了，大约20年前有两家出版社出版了部分中文版。幸运的是，牛津大学出版社在1996出版了更新版，该版本的中文译本最近由复旦大学出版社出版。
作为20世纪杰出的数学家，库兰特在当时的数学圣地哥廷根大学师从希尔伯特等数学家。纳粹上台后，他来到美国，创办了举世闻名的库兰特研究所。关于库兰特，瑞德有一本在中国翻译出版的传记《一个数学家的双城记》，里面有很多库兰特和当代代数的故事。光是看书中的照片，当时优秀知识分子的集体形象就以响亮的名字跃入我们的眼帘，足以让我们这些学弟学妹佩服。有趣的是，哥廷根那些令人敬畏的数学大师们都写过数学普及方面的精彩书籍，比如希尔伯特的《直观几何》、克莱因的《高视点初等数学》、韦伊的《对称性》和库兰特的《什么是数学》。这些作品的共同特点是战略定位和积累。
亚伯曾经说过，我们应该向大师学习，而不是向他的弟子学习。因为大师可以很快带领你走上正途。
《什么是数学》一出版就受到了各方面的高度评价。爱因斯坦认为，这本书是“对整个数学领域的基本概念和方法的彻底而清晰的阐述”。韦尔、莫尔斯等数学大师也对其赞不绝口。《纽约时报》也愿意花一个版面来介绍。
单从题目来看，这本书的内容和体裁选择很多(选择面太广，有时候既是自由也是问题)。比如这本书，可以写成给幼儿看的书，也可以写成给大人物看的专著(类似于大家熟知的布尔巴基的《数学》)。库朗选择的体裁大致就是今天所谓的“高级科普”。高级科普创作的难点不在于知识的深度，而在于如何保持作者与读者之间必要的亲和力。既要充分体现作者自己的想法，又要兼顾非专家的读者。在这方面有许多失败和成功的例子。然而，它流传了几十年，又不得不被著名数学家斯图亚特更新的事实，证明了《数学是什么》注定是一本成功的经典。说不定以后还会有个斯图尔特2更新呢！写到这里，笔者在想，论文的价值在于引用率，那么科普作品的生命力是否在于它的修改或更新？也许这是一个很好的指标。
除了体裁，库朗还得面对另一个难题。20世纪的数学已经发展到了望洋兴叹的地步。如何在一本我们带出去郊游时可以随便翻翻的书里，把这门极度发达的学科的面貌呈现给读者？Courant的做法是收集了大量的数学“宝藏”，故事的每一个方面都不是深不见底，但也不是肤浅。足够深入，到该结束的时候再结束。这种既不是盲人摸象，也不是解剖大象的方法，可以让普通读者理解数学无比精致的结构之美。这大概遵循了希尔伯特所提倡的数学是一个有机整体的思想。
库朗特给这本书加了副标题“思想和方法的基础研究”。为什么要讲所谓的“研究”？斯图尔特为我们揭示了这一点。原来在相对简单的字里行间，有这样一个思想骨架，那就是数学这门学科。这个学科不是某些人的自由创造，而是抽象的、抽象的；然而，它并不完全基于物理对象，尽管数学在现实生活中应用广泛。数学就像植物学或天文学一样。纪律固有的“节奏”促使它发展，而履行这一纪律是我们的职责。比如植物学家发现一个新物种，天文学家发现一颗新星，就要记录下来。不记录就是无能。如果恰好这个新物种对人类战胜癌症意义重大，那么这个植物学家可能就拿不到诺贝尔奖了。如果这种植物对人类毫无用处，植物学家最多在百科全书中简单提一下。一开始就质疑这类知识是否有实用价值，是对该学科固有原则的背离，是彻头彻尾的无知和错误。什么是有价值的，什么是没什么价值的，什么应该被淘汰，应该由历史来决定，而不是人为的。虽然希尔伯特谨慎地提出了23个问题，但他也警告说，事先判断一个问题的价值往往是不可能的。现在看来，在数学发展史上，其中一些问题并不像最初认为的那样有价值。庞加莱说，“预见数学未来的正确方法是研究它的历史和现状。”《什么是数学》选取了一些有价值的领域，这些领域很成熟，很吸引人。
《数学是什么》内容条理清晰，层次分明。数学的三个部分——代数、几何和分析——逐章依次阐述。作者还注意到不同章节的恰当衔接。整本书从自然数开始，然后延伸到数论和数系的拓展，直到设定最一般的对象。在第三章中，我们转向与数域代数有关的几何作图。在接下来的两章中，作者将从射影几何和非欧几何的角度来讨论拓扑学。后三章着重于微积分及其应用。
数学或相关学科中的重大问题一直是数学理论发展的源泉和刺激。问题的重要性不在于难易程度，也不在于是否“高级”。通过书中穿插的问题，我们可以看到活生生的数学研究过程。以解代数方程为例。因为次数多了，和几何作图联系起来，最后的发现丰富了:一是提出了复数和代数的基本定理；第二是群论的发明。另一方面，提高方程的元素个数，引出矩阵和线性空间的概念，最终与群有关。光是解方程就能做出这么多花样！
微积分是一个和代数方程截然不同的领域，总是被一些有趣的问题触发。这些问题更多的来自物理学，其中最著名的是最速下降线、三体和关于肥皂膜形成的极小曲面的普拉托问题。还有纯数学问题，比如四色问题。这些看似无关的问题使得数学家们将微积分扩展到微分方程、变分法、拓扑学和微分动力系统等重要分支。作者还补充了很多著名的“初等极值问题”，比如等周问题、光学三角形、最短网络等等。既增加了可读性，又强调了这些历史名题对数学发展的不可磨灭的贡献。
提出问题的目的是为了解决问题，提出新的问题。最终目的不是炫耀自己的解题技巧，而是强化理论武器，达到更高的境界和更广阔的视野。所以数学家不是工程师，整个数学史就是数学家发现问题，而不是为数学家解决问题。工程师和医生总是希望问题少一些，而数学家恰恰相反。该书对问题背后新概念的把握可谓一丝不苟，读起来往往有“被提升”的感觉。几个世纪以来，数学家在零碎问题的根源上寻找统一性的努力无疑树立了人类理性的一个伟大里程碑。
当然，库朗没有看到数学上一些令人振奋的新进展，比如费马大定理，四色问题的证明，还有素数问题，纽结，分形，连续统假设。所有这些都是斯图亚特在第九章“最新进展”中介绍的。
这本书里的参考文献也挺不错的，推荐阅读书目肯定花了作者不少心思。这也是一本好的科普书的特点。
好的作品要让读者常读常新。比如《西游记》，比起那些佛教经典，实在是太好读了，但是在搞笑的故事和简单的文字背后，他的思想奥秘真的不是一句话，一个人就能说实话的，所以一直评论不断；即使是普通读者，在遇到一些社会现象时，也会和小说中的情节做一些类比，有新的感悟。那么科学作品能达到同样的效果吗？至少，《数学是什么》这本书是做出来的。
对《数学是什么》的思考2俗话说，学而不思则罔。有一次在一个数学论坛闲逛，发现很多人都在讨论这本书，评价很高。我以为和数学有关，就心血来潮买了这本书。直到我真正看完这本书，这本书已经在抽屉里积了很久的灰尘。看完之后发现收获真的太多了。
《什么是数学》是写给初学者和专家、学生和老师、哲学家和工程师的。是世界著名的通俗数学读物。该书汇集了众多经典的数学瑰宝，给出了一组有趣而简单的数学世界图景，对整个数学领域的基本概念和方法进行了深刻而生动的阐述。
I Stewart增加了新的一章，从新的角度阐述了数学的最新进展，描述了四色定理和费马大定理的证明。这些问题在Courant和Robin写这本书的时候还没有解决，但是现在已经解决了。
爱因斯坦评论道:“什么是数学”是对整个数学领域中基本概念和方法的透彻而清晰的阐述。“读这本书让我们清楚地知道什么是数学。数学是研究思想和方法的学问。目前我们的数学教学有时会变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式演绎的能力，但并不能导致真正的理解和深入的独立思考。数学研究出现了过度专业化、过于强调抽象性的趋势，而忽视了数学的应用及其与其他领域的联系。因此，我们必须认识到，数学教学的最终目的应该是培养思维能力。阅读《什么是数学》会对广大教师、学生和受教育者产生建设性的转化，让大家真正明白数学是一个有机整体，是科学思维和行动的基础。
作为一名数学教师，我们不仅要帮助学生学习和掌握数学知识，还要注重培养学生的思维能力，掌握数学思想和方法。数学是一种思维方式，不是解题训练。这是每个数学老师都应该注意的。回到我自己的教学，我觉得如果学生对数学有了大致的了解，就不会再觉得数学是那么的枯燥和可怕了。但要想像这本书作者一样崇高，就要靠我们作为教师的数学背景，在学生上课产生的问题中判断什么是数学本质的知识，并熟练处理相关的数学内容。作为一名数学教师，我们不仅要帮助学生学习和掌握数学知识，还要注重培养学生的思维能力，掌握数学思想和方法。因此，我们必须认识到，数学教学的最终目的应该是培养思维能力，而绝不是解题训练。这是每个数学老师都应该注意的，也是我以后努力的地方。
什么是数学？3什么是数学？《思想与方法基础研究》由美国R. Courant和H. Robin合著。
序言里有两段话:第一，数学对象是什么不重要，重要的是它做什么。数学挣扎在现实与非现实之间徘徊，它的意义不在于抽象的形式，也不存在于具体的物体中；这对于喜欢数学概念的哲学家来说可能是个问题，但这就是数学的巨大力量——我们称之为所谓的“不切实际的现实”。数学把心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实物质世界联系起来。
第二，有意义的数学就像报纸杂志讲有趣的故事，但不像某些报纸杂志，它的故事一定是真实的，最好的数学应该像文学作品。故事来源于你的真实生活，这让你投入了你的精力和感情。
从这两段话中，我想到了我们正在学习的“生命课堂”。我们努力使我们的课堂与现实生活世界沟通，使课堂内容与学生现有的生活经验相结合。这无疑会让我们的课堂更加生活化、发展化。如果我们的数学课只是一个解题课，只是一个空洞的微积分和推理，就不会有强大的生命力。如果脱离了与现实世界的联系，这样的数学只是一个工具，是冷的没有温度的，没有生命的。
如何实现这两者的联系和融合，是我们所有教师，尤其是数学教师应该思考和解决的问题。希望能从这本书里找到一些答案。
在文章的第五页，有一段话:幸运的是，尽管有一些教条的哲学信仰，创造性思维仍在继续发展，如果思维屈服于这种信仰，就会阻碍建设性的成就。无论对于专家还是普通人，唯一能回答数学是什么这个问题的，不是哲学，而是数学本身的生活经验。
可见，数学来源于生活，又高于生活。数学是对现实生活的抽象和高度概括，数学是对生活中一些现象和规律的归纳和综合。所以，生活是土地，数学是这片土地滋养的花朵或参天大树。数学的发展必须得到现实生活的滋养，才能获得源源不断的养分。因此，生活是数学的源泉，我们的“生活课堂”研究必须与生活和现实社会的发展密切相关，这样我们的课堂才能真正具有生命力和不断的活力。这也是我们今后研究和努力的方向。
什么是数学？4什么是数学？数学家R，Ke，H，Robin写了一本通俗数学的书来告诉你。无论是数学专业的，还是想学数学的，都可以看这本书。尤其对高中生、大学生、中学数学老师来说，是一本极好的参考书。这本书深刻而生动地阐述了整个数学领域的基本概念和方法。《纽约时报》评论说，这本书既写给初学者，也写给专家，还有学生和老师，哲学家和工程师，是一本完美的书。
这让我想起初中的时候，我对数学不感兴趣。我以为数学太简单了，一学就能看懂。可以衡量，后来的一堂数学课影响了我的一生。
那是苏上三年级的时候。他在XX中学的时候，一个刚从东京留学回来的杨老师教数学。第一节课，杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说:很久以前的世界，弱肉强食盛行，世界列强依仗他们的船造炮，获取利益，都想蚕食瓜分中国。中国亡国灭种的危险迫在眉睫，必须振兴科学，发展工业，救亡图存。天下兴亡，匹夫有责，这里的每个学生都有责。他大量引用并描述了数学在现代科技发展中的巨大作用。这节课最后一句话是:为了救国图存，必须振兴科学。数学是科学的先驱。为了发展科学，我们必须学好数学。我不知道苏一生上过多少课，但这一课我永远不会忘记。
杨老师的课深深打动了我，他给我的头脑注入了新的思想。读书不仅仅是为了摆脱个人困境，而是为了强国；读书不仅仅是为个人找路，而是为中华民族创造。那天晚上，我翻来覆去，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，读书不忘救国”的座右铭。我对数学很着迷，无论是在酷暑的冬天，霜冻的早晨，还是雪夜，我只知道读书，思考，解题，计算，四年算了上万道数学习题。中学毕业的时候，我各科成绩都在90分以上。
17岁时，苏赴日留学，并以第一名的成绩考取东京工业学校，在那里如饥似渴地学习。为国争光的信念驱使苏较早进入数学研究领域。同时撰写论文30余篇，在微分几何方面成绩斐然，并于1931获得理学博士学位。在获得博士学位之前，苏一直是日本帝国大学数学系的讲师。正当一所日本大学准备高薪聘请他为副教授时，苏决定回到中国，到养育他的祖先那里教书。浙江大学教授回到苏后，生活非常艰苦。面对困难，苏的回答是，苦难不算什么，我心甘情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国光明的道路！
我读了，数学也有技巧。只要你掌握了技巧，你就会成功。
打开这本书才知道自己的数学专业知识是多么的欠缺，感觉自己的数学水平还停留在小学阶段，甚至中学学的东西都快忘光了。特别是新课程实施以来，我常常觉得自己不能深刻理解教材，看不透它的本质。《什么是数学》是一本研究数学思想和方法的专业书籍。深刻生动地阐述了整个数学领域的基本概念和方法。知识点是一个个联系起来的，遵循严格的逻辑推理，而不是凭空跳出来一个结论让你接受。里面的知识点要细细品味，细细咀嚼，细细消化，展开一桶水，才能真正体会到什么是数学。
数学作为人类思维的一种表达方式，体现了人们积极主动、缜密推理和追求完美的意志。其基本要素是逻辑与直觉、分析与建构、共性与个性。这句话里，我似乎明白了为什么有些睿智的老师总说数学的核心是哲学。我认为我们作为数学老师更重要的是引导学生辩证地理解我们所学的东西。比如，1/2大于1/5，有时在单位1不同时，1/2小于1/5。
作为一名数学教师，我们不仅要帮助学生学习和掌握数学知识，还要注重培养学生的思维能力，掌握数学思想和方法。数学是一种思维方式，不是解题训练。这是每个数学老师都应该注意的。